ABELHAS GEÔMETRAS

A Matemática está muito presente na natureza. Nesse trabalho, mostraremos um pouco da "matemática das abelhas". A forma geométrica de seu favo, fazendo uma comparação com outros prismas, mostrando quais os únicos prismas que poderiam ser utilizados na construção dos alvéolos e qual possui maior volume. Mostraremos também como elas utilizam os ângulos na dança para a localização de alimentos, falaremos um pouco de sua organização social e dos tipos de alimentos coletados.
Apresentaremos um modelo de crescimento da população das abelhas, a formação da colméia e muitas curiosidades.

http://www.youtube.com/watch?v=DwO6t7ycQQM

Abelhas: uma sociedade muito organizada

As abelhas constroem suas casas no oco das árvores, em buracos no solo e em cupinzeiros abandonados. Os lugares sempre escolhidos são sempre abrigados contra o frio, a chuva e os inimigos naturais. Quando observamos uma colméia, o que mais nos encanta é a sua organização social.
As abelhas sobrevivem somente quando agrupadas. Sozinha uma abelha é incapaz de viver. A sociedade das abelhas é constituída por três tipos de indivíduos: a rainha, os zangões e as operárias. Esses indivíduos formam a população de uma colméia. A rainha é a única fêmea fértil da colméia. É ela a responsável pela produção: põe de 2000 a 3000 ovos por dia; alimenta-se exclusivamente de geléia real e pode viver até 5 anos. Em cada colméia só existe uma rainha.

Os zangões são os machos da colméia e sua função é fecundar a rainha. Isso ocorre apenas uma vez na vida dessa abelha responsável pela produção. Quando a população de uma colméia torna-se muito grande, as operárias criam uma nova rainha. Alguns dias depois de nascer, ela sai com os zangões para o vôo nupcial. Aí, então é fecundada e os espermatozóides. Ficam guardados num receptáculo em seu corpo – a espermateca. De volta a colméia, a nova rainha assume seu papel de reprodutora e a velha rainha sai com uma parte do enxame a procura de um lugar para estabelecer sua nova casa.

Quando a população de zangões torna-se muito grande, as operárias os matam, pois eles não produzem nada só fecundam a rainha.
As operárias executam todas as tarefas dentro da colméia. Guardam a entrada da colméia e protegem a rainha, etc. O tempo de vida de uma operária é em média, de 45 dias. Após esse período, ela abandona a colméia e vai morrer longe das outras, não hes dando nenhum trabalho

Por que as abelhas constroem seus alvéolos?

Com uma única finalidade a abelha constrói os seus curiosos alvéolos: é para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. Levadas (afirmam os sábios pesquisadores) por um instinto admirável, as abelhas procuram obter para seus alvéolos uma forma que seja a mais econômica, isto é, que apresente “maior volume” ou maior capacidade, para a menor porção de material empregado.
Dentro desse plano de trabalho, é preciso que a parede de um alvéolo sirva também ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois, do contrário, não haveria paredes comuns e o desperdício de material seria enorme. Era preciso, pois, para o alvéolo, adotar uma forma prismática.

A forma prismática dos alvéolos

Os prismas (os alvéolos) devem encher totalmente o espaço sem deixar interstícios. As paredes devem ser comuns.
Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstícios são: o prisma triangular, o quadrangular e o hexagonal. Desses três prismas regulares qual será o mais econômico? Em outras palavras: Qual dos três prismas (tendo áreas laterais iguais) apresenta maior volume?

Prisma hexagonal: o mais econômico

Digamos que com certa porção Q, de cartolina, fabricamos o prisma triangular; com a mesma porção Q, um prisma quadrangular e, ainda, com a mesma porção Q, um prisma hexagonal (como indica a figura). Os três prismas são supostos abertos em cima e embaixo. (As bases não são levadas em conta.)

As três únicas maneiras com que podemos fechar o espaço com prismas regulares e iguais sem deixar interstícios:

· com prismas quadrangulares iguais (ângulo de 90º);
· com prismas triangulares regulares iguais (ângulo de 60º);
· com prismas hexagonais regulares iguais (ângulo de 120º).

Observem que 60º, 90º e 120º são os divisores de 360º e ângulos internos de polígonos regulares. As abelhas preferiram o prisma hexagonal por ser o mais econômico.

As áreas laterais dos três prismas são iguais. Podemos, portanto, assegurar que esses prismas apresentam, em suas bases, polígonos isoperímetros (com o mesmo perímetro).

Designemos por a, b, e c, respectivamente, as arestas das bases dos três prismas. Temos, portanto:

· Perímetro do triângulo: 3a;
· Perímetro do quadrado: 4b;
· Perímetro de hexágono: 6c.

Mas como os três polígonos são isoperímetros, temos: 3a = 4b = 6c.

Com o auxílio das relações: 3a = 4b e 3a = 6c

Podemos exprimir as arestas b e c em função de a (aresta do triângulo). Temos: b = 3a / 2 c = a / 2

As três arestas básicas dos prismas são, respectivamente: a, 3a/4 e a/2

Conhecidas as três arestas podemos, com auxílio da Geometria, calcular o volume desses três prismas.

Dos três prismas regulares a abelha escolheu o hexagonal por ser o mais econômico.

A comparação desses volumes torna-se mais simples com a supressão do fator comum a 2 . Escrevemos:

Qual desses três números é o maior? Qual o prisma de maior volume?

Vamos substituir

pelo seu valor aproximado, 1,73 e obteremos os três números (aproximados):

O terceiro (que corresponde ao prisma hexagonal) é o maior.

Conclusão:
O prisma mais econômico é o prisma hexagonal, pois é aquele que apresenta, para o mesmo gasto de material, maior volume, isto é, maior capacidade. Foi por esse motivo que as abelhas, para os seus alvéolos, adotaram a forma hexagonal.

Como são colocados, para maior economia de espaço, os alvéolos das abelhas. A parede de um alvéolo serve para outro alvéolo. Não há entre os alvéolos espaço

perdido e a forma hexagonal é a mais econômica.

Como fechar os alvéolos para conseguir a máxima economia de material?

Já nesse ponto o problema torna-se mais delicado, pois só pode ser resolvido com os recursos da Trigonometria e do Cálculo Infinitesimal (teoria dos máximos e mínimos). A fórmula adotada pela abelha geômetra foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é formado de três losangos iguais. Com essa forma rômbica, em vez de fundo raso (plano) as abelhas, economizam um alvéolo em cada cinqüenta. Em milhões e milhões de alvéolos essa pequena economia de 1 em 50 é incalculável

Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior economia de material, são fechados por três losangos iguais. O valor constante do ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas

Porque as abelhas constroem seus alvéolos?

A forma geométrica do favo

Ao construir os alvéolos das colméias as abelhas procuram obter uma forma que otimize a economia de cera, isto é, que apresente o maior volume para a menor porção de material empregado.
Sendo assim, é preciso que a parede de um alvéolo também sirva ao alvéolo vizinho. Para isso, os alvéolos não poderiam ser cilíndricos, pois a falta de paredes comuns entre eles deixaria uma grande quantidade de espaços inaproveitados. Então, obviamente os alvéolos precisariam ter a forma de um prisma, e os únicos prismas regulares que se justapõe sem deixar buracos são o prismas triangulares, quadrangulares e os hexagonais, sendo esse último o escolhido pelas abelhas, por uma simples razão, dados três prismas, cada um com um dos formatos descritos acima, construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

A linguagem matemática da dança

As abelhas utilizam a dança e a direção do sol para informar às companheiras a localização, distância e qualidade do alimento que encontram (mesmo nos dias nublados, devido a sensibilidade à luz ultravioleta que atravessa as nuvens). As abelhas utilizam os ângulos na dança de localização de alimento, há dois tipos de dança, a dança do requebrado e a dança do círculo. Elas coletam vários tipos de alimentos como própolis, água, pólen e néctar.

a) Dança do círculo: (indica distâncias curtas) descreve uma série de círculos na superfície do favo, alternando sentido horário e anti-horário a cada um ou dois círculos.

b) Dança do requebrado: (em forma de 8, distâncias além de 100 metros) ela anda uma pequena distância em linha "reta", faz um semicírculo de volta ao começo da reta, avança novamente em direção ao fim da "reta", faz outro semicírculo voltando ao começo da "reta",mas em direção oposta, e a seguir repete o processo.

A direção é dada pelo ângulo que a linha reta faz com a vertical, ângulo este, entre a direção do alimento e a direção do Sol, medidos a partir do ninho. No interior da colméia é como se houvesse uma linha imaginária, num fio de prumo vertical ao solo, que representaria a direção colméia-Sol. A partir dessa linha imaginária a dançarina indica a direção a ser tomada. Por exemplo, se a fonte de alimento estiver na direção do Sol a partir da saída da colméia, ela fará a dança do 8 virada para cima do favo. Se a fonte de alimento estiver 60 graus à direita do Sol, ela dançará rigorosamente a 60 graus desse fio de prumo.

As melíferas são capazes de ver o Sol mesmo em dias muito nublados, em virtude de sua sensibilidade à luz ultra-violeta que atravessa as nuvens. A comunicação pela dança se tornou tão aperfeiçoada que, mesmo depois do anoitecer, as abelhas sabem a posição do Sol com alguma precisão, pois são capazes de transpor a informação horizontal para a vertical e memorizar a posição do Sol, executando a dança no escuro. Isso lhes permite instalar colônias em locais mais protegidos.
A quantidade de alimento é indicada pelas campeiras por sua empolgação durante a dança. Ou seja, quanto maior a oferta de comida, mais ela requebra ao traçar em zigue-zagues o desenho do número oito na superfície do favo.
As danças em círculo e do requebrado não são rigidamente demarcadas, mas quando a distância da fonte de alimento está entre 25 e 100 metros do ninho, são realizadas danças geralmente "em foice", que são transições entre "em círculo" e "do requebrado".

INFORMAÇÕES SOBRE OS

PRODUTOS DAS ABELHAS

MEL
Entende-se por mel o produto alimentício produzido pelas abelhas meliferas a partir do néctar das flores e de secreções de partes vivas de certas plantas ou de secreções de insetos sugadores de plantas, que vivem sobre algumas espécies vegetais e que as abelhas recolhem, transtormam, combinam com substâncias específicas próprias, armazenam e deixam rnaturar nos favos da colmeia.
É o melhor e mais antigo edulcorante (adoçante) para uso familiar e industrial com mercado sempre garantido.
O SABOR, AROMA, COR e DENSIDADE variam de acordo com as flores das plantas que forneceram o néctar, classificando-o em diversos tipos pela sua origem botânica.
Cada espécie de planta enriquece o néctar com suas qualidades e características especiais, representando a própria essência da vida que é também transferida para o mel.
Para o homem é o adoçante natural mais rico em componentes nutritivos e terapêuticos conhecidos pelo valor energético, estimulador, digestivo e reconstituinte do organismo. É alimento carbohidratado, energético, que possui dois açúcares: glicose e frutose; sais minerais e outros que são absorvidos no sangue sem prévia digestão, proporcionando energia rápida.
O mel é gostoso e faz bem a saude tanto para jovens quanto para idosos, passado no pão, na torrada, na panqueca, puro ou sobre manteiga, margarina e queijo. Com requeijão, então, fica uma delicia. Serve também como adoçante para cereais, pudins, cafezinho, salada de frutas, recheios de maçã assada ao forno, até carnes; sempre substituindo o açúcar. No verão, pode se fazer ótimo e energético refresco (água e mel) e que também é bom para dormir de forma tranquila, principalmente quando de flores de laranja.
Terapeuticamente é bom para aliviar problemas nas vias respiratórias (gripes, tosse, bronquites, etc.), além de ser um excelente tratamento para aliviar a dor de queimaduras e colírio para vista cansada.
O mel fluido e o mel cristalizado não possuem diferenças essenciais. Conservam a mesma natureza, tanto em estado liquido como em estado sólido, açucarado ou granulado. A granulação consiste na separação da glicose (forma sólida). É, pois, um processo natural que não prejudica o mel.
Para fazer o mel voltar ao estado natural (líquido), basta aquecê-la sem tampa, em "banho-maria" com fogo brando (aproximadamente 50ºC ).

GELÉIA REAL
É um produto natural secretado pelas glândulas hipofaringeanas das abelhas jovens, com 3 a 12 dias de vida adulta.
Indiscutivelmente na natureza não tem outro alimento tão rico e poderoso como a geléia real.
Inegavelmente, pela sua composição e quantidades de proteínas, carbohidratos, vitaminas, hormônios, enzimas,substâncias minerais, fatores vitais específicos, substâncias biocatalizadoras nos processos de regeneração de células desenvolvendo importantes ações no corpo humano.
Informações de testemunhas e dados colhidos de vários autores em resumo bibliográfica, citam os seguintes benefícios obtidos com o uso da geléia real, tais como: asma bronquial, bactericida e microbicida, problemas de climatério, diabéticos, arteriosclerose, geriatria, doenças de fígado, pós-operatório, esgotamento, regeneração de células, reumatismo, câncer, problemas de visão, úlceras de estômago, gripes e muito mais.

PRÓPOLIS
O nome PRÓPOLIS tem sua origem no prefixo grego PRO, que significa "antes ou em prol", e o sufixo POLIS, que quer dizer "cidade" ou "povoado".
A PRÓPOLIS é uma resina vegetal que as abelhas coletam de certas plantas, principalmente das coníferas ou de espécies onde o produto é encontrado na casca, em forma resinosa; em outras, a própolis é achada nas gemas prestes a florescer, a exemplo do que acontece no pessegueiro, na ameixeira, etc. Há casos em que até nas folhas verdes as abelhas encontram a própolis.
As abelhas cole!am esse material com o uso de suas mandíbulas, com as quais raspam-no e a tornam maleável, manipulando-o com as patas, até fixarem a própolis em suas corbiculas (nas patas) como se fosse pólen, transportando-a, após, até a colmeia.
Na colmeia, serve como: material de construção; para envernizar e impermeabilizar as paredes dos favos, antes da postura da rainha, assim como as demais paredes, teto, assoalho e quadros da colmeia; para cobrir inimigos invasores, mortos pelas próprias abelhas e que não possam ser retirados, embalsamando-os com a própolis; para fechar frestas e reduzir o alvado durante o frio e até para defesa contra os inimigos; para isolar tudo o que as abelhas não gostam e possa vir a comprometer a sobrevivência da família; e para servir de desinfetante da colmeia, eliminar fungos, etc, em favor da saúde das abelhas.
Para o homem tem funções terapêuticas comprovadas, como tratamento de:
tumores malígnos, bronquites (tuberculoses), eczemas agudas e crônicas, feridas diversas, purulentas e também calosidades, infecções micóticas dos pés, principalmente dos dedos,
afecções micóticas na pele, inflamação da garganta, inflamação dos brânquias, da laringe e da mucosa nasal, e indicada na cura de aftas e de gengivites.
Externamente é excelente para queimaduras, feridas, micoses, verrugas, picadas de insetos, dor de dente, entre outras.
A partir do extrato de própolis, podem elaborar-se um grande número de subprodutos, entre eles a tintura de própolis, xaropes, balas, pomadas, unguentos, sabonetes, mel com propolis e outras fórmulas.

PÓLEN
Biologicamente, é o elemento fecundante masculino da flor, que atraído pelo ovário da mesma fertiliza as sementes, garantindo a reprodução da planta.
Formado por minúsculos grãos, localizados nas anteras dos estames da flor de onde é coletado pelas abelhas campeiras e levado para a colmeia para utilização no preparo do alimento das larvas jovens (os bebês da família), em decorrência do alto valor nutritivo, riquíssimo em proteínas naturais, acrescido de todo um processo de minerais, como;
potássio, fósforo, enxofre, cobre, ferro, cloro, magnésio, silício e mais um complexo de vitaminas: B-C-D-E.



VENENO DA ABELHA
Este veneno é a única força de defesa da abelha contra seus inimigos.
É formado por várias substâncias biológicas, que são as responsáveis pelos diferentes efeitos no organismo humano e animal.
Um odor ácido forte é emitido durante a ferroada, com a finalidade de incitar as abelhas ao ataque.
Mas este veneno que tanta dor causa aos apicultores, que vez por outra levam algumas ferroadas, como advertência pelas abelhas, para a humanidade, desde longos anos e até hoje tem proporcionado excelente resultado no tratamento de: reumatismo ou artrite, transtornos circulatórios e muitas outras ações já confirmadas, desde que não-alérgicas ao veneno das abelhas. A extração deste veneno é uma atividade nova e que pode proporcionar uma excelente fonte de renda complementar para o apicultor.
Muitas pessoas são alérgicas ao veneno; por isso é necessário ter cuidado e consultar um médico antes.


CERA DE ABELHAS
É uma substância secretada pelas abelhas operárias, entre 14-18 dias de vida adulta, através de quatro pares de glândulas gordurosas ou cerígenas, localizadas na parte inferior do abdômen.
Para as abelhas a principal utilidade é a construção dos favos que são de cera. É composta por diversas substâncias, todas obtidas do mel que as abelhas consomem para sua produção.
A coloração é variável, do branco ao amarelo, pela contaminação do pólen encontrado no mel, além de partículas de própolis.
Para produzir um quilo de cera, as abelhas necessitam consumir aproximadamente 7 quilos de mel, e a média de produção de cera é de 2% da produção normal de mel.
Tem aplicação na indústria, como impermeabilizante, fabricação de velas, produção de cosméticos e na farmacopéia em geral.

BOLO DE MEL E ESPECIARIAS
Ingredientes: 2 xícaras de farinha para bolo, 2 colherinhas (chá) de fermento em pó, ¼ colherinha (chá) de sal, ½ xícara de gordura, 1 colherinha (chá) de casca de limão ralada, ¼ xícara de mel, 2 gemas. ½ xícara de leite, 2/3 xícara de passas picadas, 1 colherinha de baunilha, 2 claras, 1/8 xícara de nozes picadas
Modo de Fazer: Peneire primeiro a farinha, meça, e adicione o fermento em pó, o sal, peneirando tudo junto três vezes. Bota a gordura com a casca de limão; junte o mel gradualmente, batendo bem depois de cada adição. Junte ¼ da farinha e coloque até formar uma massa macia e bem batida. Junte as gemas, uma por vez, , batendo bem depois de cada uma. Junte a farinha restante, por três vezes, alternando com o leite, batendo bem, depois de cada adição. Adicione as passas com a última adição da farinha. Acrescente a baunilha. Coloque as claras em ponto de neve e misture ligeiramente no bolo. Despeje numa forma e asse em forno moderado. Polvilhe por cima as nozes picadas.

PÃO PARA O NATAL
Ingredientes: 1 tablete de fermento, ¾ xícara de água morna, ¼ xícara de mel, 1 xícara de leite quente, 4 xícaras de farinha, ½ xícara de gordura derretida, 2 ovos, 2 colherinhas (chá) de sal, 1 xícara de passas, ½ xícara de cidra picada, ½ xícara de nozes picadas, ½ xícara de cerejas em conserva, ou outra fruta
Modo de Fazer: Dissolva o fermento em água morna. Junte o leite e o mel. Quando o leite esfriar, adicione o fermento e 2 xícaras de farinha. Misture bem. Deixe crescer num lugar quente até atingir o duplo tamanho. Adicione a gordura derretida , os ovos batidos e o sal. Polvilhe as frutas e as nozes em parte da farinha restante. Adicione o restante da farinha e bata bem. Coloque numa tigela untada, cubra e deixe crescer até ao duplo tamanho anterior. Remova da tigela para a mesa polvilhada de farinha. Rebaixe-a , cubra com um pano e deixe crescer durante 10 minutos. Forme roscas e coloque em formas do mesmo formato, e deixe atingir o duplo do tamanho novamente. Asse em forno moderado durante 30 a 35 minutos. Pode cobrir com qualquer glacê se o desejar.

CUBOS COM NOZES
Ingredientes: 170 g de mel, 400 g de farinha de trigo, 150 g de manteiga, 3 gemas, ½ colher (sopa) de fermento em pó, suco e casca de ½ limão, 1 pitadinha de canela, chocolate granulado, 3 claras em neve, 100 g de nozes moídas, 100 g de açúcar
Modo de Fazer: Sobre uma tábua de madeira, coloque: manteiga derretida, farinha e fermento. Misture as gemas, o mel e os outros ingredientes, o suco e casca do limão ralado. Amasse tudo até formar uma massa homogênea.Estique a massa e leve a uma forma untada. Cubra com as claras em neve, salpique

MAIONESE LEVE DE MEL
Ingredientes: 1 ovo, 1 colher (chá) de mel, 2 colheres (sopa) de suco de limão, ½ colher (chá) de sal, 2 colheres (chá) de mostarda, 5/8 xícara (chá) de óleo (ou quanto for necessário).
Modo de Fazer: Coloque no liqüidificador todos os ingredientes, exceto o óleo. Tampe e misture à baixa velocidade. Deixe ligado e adicione o óleo vagarosamente através do buraco central , até que a mistura esteja tão espessa quanto você queria.

FRANGO COM MEL
Ingredientes: 220 g de mel (6 colheres sopa cheias), suco de 1 laranja, suco de 1 limão, sal, pimenta, 1 e 1/2 de frango, 3 dentes de alho amassados.
Modo de Fazer: Tempere o frango com o sal, pimenta e o alho. Misture o suco de limão e o de laranja com o mel. Coloque o frango numa forma e regue com a mistura anterior. Leve ao forno por 40 minutos, regando sempre com o molho para não queimar e pegar sabor. Retire do forno e componha num prato com rodelas de laranja. Sirva Quente.

CAMARÕES AO MEL
Ingredientes: Vinha D’alhos: 2 colheres (chá) de gengibre moído fino, ¼ de xícara (chá) de molho de soja , 1 a 2 colheres (sopa) de sherry seco, 1 a 2 dentes de alho amassados, 2 colheres (sopa) de mel e 1 colher (sopa) de óleo de sésamo.
Na hora de servir: 500 g de camarões grandes, manteiga, metades de melão sem a parte interna, bolinhas escavadas da parte interna do melão, gengibre ralado.
Modo de Fazer: Misture os ingredientes do vinha d’alhos. Limpe os camarões, deixando as caudas intactas. Deixe-os de molho na vinha d’alhos durante a noite.

Xarope de agrião com mel (para tosse)
Colocar, em prato fundo, camadas alternadas de folhas de agrião e açúcar refinado (suficiente para cobrir o agrião). Fazer isto até encher o prato. Colocá-lo sobre uma panela com água e cobri-lo com outro prato. Aquecer a panela até ferver a água. Diminuir o fogo até secar as folhas. Coar após espremer bem. Acrescentar, ao coado, mel em proporções iguais, isto é, 1 parte de coado: 1 parte de mel.

Pomada para queimaduras
500g de cera de abelham, 500ml de óleo, 100ml de mel. Aquecer a cera e o óleo até ficar líquido. Desligar, mexer bem. Adicionar o mel.

Creme para mãos
Cera branca de abelhas (18 partes), Óleo mineral (61 partes), Água destilada (20 partes), Bórax (1 parte). A cera e óleo mineral são aquecidos até 70ºC e misturados. O bórax é dissolvido na água à mesma temperatura e as duas misturas são combinadas com agitação rápida. O perfume é adicionado quando a temperatura estiver a 50ºC e os recipientes são preenchidos quando a temperatura atingir 42ºC.

Pomada de própolis
Própolis diluída em álcool por 2 a 3 meses. Eliminar a porção líquida. A parte sólida deve secar ao sol.Misturar esta porção seca com azeite de dendê, formando uma pasta. Uso na cicatrização de feridas.