ABELHAS GEÔMETRAS

A Matemática está muito presente na natureza. Nesse trabalho, mostraremos um pouco da "matemática das abelhas". A forma geométrica de seu favo, fazendo uma comparação com outros prismas, mostrando quais os únicos prismas que poderiam ser utilizados na construção dos alvéolos e qual possui maior volume. Mostraremos também como elas utilizam os ângulos na dança para a localização de alimentos, falaremos um pouco de sua organização social e dos tipos de alimentos coletados.
Apresentaremos um modelo de crescimento da população das abelhas, a formação da colméia e muitas curiosidades.

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Abelhas: uma sociedade muito organizada

As abelhas constroem suas casas no oco das árvores, em buracos no solo e em cupinzeiros abandonados. Os lugares sempre escolhidos são sempre abrigados contra o frio, a chuva e os inimigos naturais. Quando observamos uma colméia, o que mais nos encanta é a sua organização social.
As abelhas sobrevivem somente quando agrupadas. Sozinha uma abelha é incapaz de viver. A sociedade das abelhas é constituída por três tipos de indivíduos: a rainha, os zangões e as operárias. Esses indivíduos formam a população de uma colméia. A rainha é a única fêmea fértil da colméia. É ela a responsável pela produção: põe de 2000 a 3000 ovos por dia; alimenta-se exclusivamente de geléia real e pode viver até 5 anos. Em cada colméia só existe uma rainha.

Os zangões são os machos da colméia e sua função é fecundar a rainha. Isso ocorre apenas uma vez na vida dessa abelha responsável pela produção. Quando a população de uma colméia torna-se muito grande, as operárias criam uma nova rainha. Alguns dias depois de nascer, ela sai com os zangões para o vôo nupcial. Aí, então é fecundada e os espermatozóides. Ficam guardados num receptáculo em seu corpo – a espermateca. De volta a colméia, a nova rainha assume seu papel de reprodutora e a velha rainha sai com uma parte do enxame a procura de um lugar para estabelecer sua nova casa.

Quando a população de zangões torna-se muito grande, as operárias os matam, pois eles não produzem nada só fecundam a rainha.
As operárias executam todas as tarefas dentro da colméia. Guardam a entrada da colméia e protegem a rainha, etc. O tempo de vida de uma operária é em média, de 45 dias. Após esse período, ela abandona a colméia e vai morrer longe das outras, não hes dando nenhum trabalho

Por que as abelhas constroem seus alvéolos?

Com uma única finalidade a abelha constrói os seus curiosos alvéolos: é para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. Levadas (afirmam os sábios pesquisadores) por um instinto admirável, as abelhas procuram obter para seus alvéolos uma forma que seja a mais econômica, isto é, que apresente “maior volume” ou maior capacidade, para a menor porção de material empregado.
Dentro desse plano de trabalho, é preciso que a parede de um alvéolo sirva também ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois, do contrário, não haveria paredes comuns e o desperdício de material seria enorme. Era preciso, pois, para o alvéolo, adotar uma forma prismática.

A forma prismática dos alvéolos

Os prismas (os alvéolos) devem encher totalmente o espaço sem deixar interstícios. As paredes devem ser comuns.
Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstícios são: o prisma triangular, o quadrangular e o hexagonal. Desses três prismas regulares qual será o mais econômico? Em outras palavras: Qual dos três prismas (tendo áreas laterais iguais) apresenta maior volume?

Prisma hexagonal: o mais econômico

Digamos que com certa porção Q, de cartolina, fabricamos o prisma triangular; com a mesma porção Q, um prisma quadrangular e, ainda, com a mesma porção Q, um prisma hexagonal (como indica a figura). Os três prismas são supostos abertos em cima e embaixo. (As bases não são levadas em conta.)

As três únicas maneiras com que podemos fechar o espaço com prismas regulares e iguais sem deixar interstícios:

· com prismas quadrangulares iguais (ângulo de 90º);
· com prismas triangulares regulares iguais (ângulo de 60º);
· com prismas hexagonais regulares iguais (ângulo de 120º).

Observem que 60º, 90º e 120º são os divisores de 360º e ângulos internos de polígonos regulares. As abelhas preferiram o prisma hexagonal por ser o mais econômico.

As áreas laterais dos três prismas são iguais. Podemos, portanto, assegurar que esses prismas apresentam, em suas bases, polígonos isoperímetros (com o mesmo perímetro).

Designemos por a, b, e c, respectivamente, as arestas das bases dos três prismas. Temos, portanto:

· Perímetro do triângulo: 3a;
· Perímetro do quadrado: 4b;
· Perímetro de hexágono: 6c.

Mas como os três polígonos são isoperímetros, temos: 3a = 4b = 6c.

Com o auxílio das relações: 3a = 4b e 3a = 6c

Podemos exprimir as arestas b e c em função de a (aresta do triângulo). Temos: b = 3a / 2 c = a / 2

As três arestas básicas dos prismas são, respectivamente: a, 3a/4 e a/2

Conhecidas as três arestas podemos, com auxílio da Geometria, calcular o volume desses três prismas.

Dos três prismas regulares a abelha escolheu o hexagonal por ser o mais econômico.

A comparação desses volumes torna-se mais simples com a supressão do fator comum a 2 . Escrevemos:

Qual desses três números é o maior? Qual o prisma de maior volume?

Vamos substituir

pelo seu valor aproximado, 1,73 e obteremos os três números (aproximados):

O terceiro (que corresponde ao prisma hexagonal) é o maior.

Conclusão:
O prisma mais econômico é o prisma hexagonal, pois é aquele que apresenta, para o mesmo gasto de material, maior volume, isto é, maior capacidade. Foi por esse motivo que as abelhas, para os seus alvéolos, adotaram a forma hexagonal.

Como são colocados, para maior economia de espaço, os alvéolos das abelhas. A parede de um alvéolo serve para outro alvéolo. Não há entre os alvéolos espaço

perdido e a forma hexagonal é a mais econômica.

Como fechar os alvéolos para conseguir a máxima economia de material?

Já nesse ponto o problema torna-se mais delicado, pois só pode ser resolvido com os recursos da Trigonometria e do Cálculo Infinitesimal (teoria dos máximos e mínimos). A fórmula adotada pela abelha geômetra foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é formado de três losangos iguais. Com essa forma rômbica, em vez de fundo raso (plano) as abelhas, economizam um alvéolo em cada cinqüenta. Em milhões e milhões de alvéolos essa pequena economia de 1 em 50 é incalculável

Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior economia de material, são fechados por três losangos iguais. O valor constante do ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas

Porque as abelhas constroem seus alvéolos?

A forma geométrica do favo

Ao construir os alvéolos das colméias as abelhas procuram obter uma forma que otimize a economia de cera, isto é, que apresente o maior volume para a menor porção de material empregado.
Sendo assim, é preciso que a parede de um alvéolo também sirva ao alvéolo vizinho. Para isso, os alvéolos não poderiam ser cilíndricos, pois a falta de paredes comuns entre eles deixaria uma grande quantidade de espaços inaproveitados. Então, obviamente os alvéolos precisariam ter a forma de um prisma, e os únicos prismas regulares que se justapõe sem deixar buracos são o prismas triangulares, quadrangulares e os hexagonais, sendo esse último o escolhido pelas abelhas, por uma simples razão, dados três prismas, cada um com um dos formatos descritos acima, construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

A linguagem matemática da dança

As abelhas utilizam a dança e a direção do sol para informar às companheiras a localização, distância e qualidade do alimento que encontram (mesmo nos dias nublados, devido a sensibilidade à luz ultravioleta que atravessa as nuvens). As abelhas utilizam os ângulos na dança de localização de alimento, há dois tipos de dança, a dança do requebrado e a dança do círculo. Elas coletam vários tipos de alimentos como própolis, água, pólen e néctar.

a) Dança do círculo: (indica distâncias curtas) descreve uma série de círculos na superfície do favo, alternando sentido horário e anti-horário a cada um ou dois círculos.

b) Dança do requebrado: (em forma de 8, distâncias além de 100 metros) ela anda uma pequena distância em linha "reta", faz um semicírculo de volta ao começo da reta, avança novamente em direção ao fim da "reta", faz outro semicírculo voltando ao começo da "reta",mas em direção oposta, e a seguir repete o processo.

A direção é dada pelo ângulo que a linha reta faz com a vertical, ângulo este, entre a direção do alimento e a direção do Sol, medidos a partir do ninho. No interior da colméia é como se houvesse uma linha imaginária, num fio de prumo vertical ao solo, que representaria a direção colméia-Sol. A partir dessa linha imaginária a dançarina indica a direção a ser tomada. Por exemplo, se a fonte de alimento estiver na direção do Sol a partir da saída da colméia, ela fará a dança do 8 virada para cima do favo. Se a fonte de alimento estiver 60 graus à direita do Sol, ela dançará rigorosamente a 60 graus desse fio de prumo.

As melíferas são capazes de ver o Sol mesmo em dias muito nublados, em virtude de sua sensibilidade à luz ultra-violeta que atravessa as nuvens. A comunicação pela dança se tornou tão aperfeiçoada que, mesmo depois do anoitecer, as abelhas sabem a posição do Sol com alguma precisão, pois são capazes de transpor a informação horizontal para a vertical e memorizar a posição do Sol, executando a dança no escuro. Isso lhes permite instalar colônias em locais mais protegidos.
A quantidade de alimento é indicada pelas campeiras por sua empolgação durante a dança. Ou seja, quanto maior a oferta de comida, mais ela requebra ao traçar em zigue-zagues o desenho do número oito na superfície do favo.
As danças em círculo e do requebrado não são rigidamente demarcadas, mas quando a distância da fonte de alimento está entre 25 e 100 metros do ninho, são realizadas danças geralmente "em foice", que são transições entre "em círculo" e "do requebrado".