ABELHAS GEÔMETRAS

A Matemática está muito presente na natureza. Nesse trabalho, mostraremos um pouco da "matemática das abelhas". A forma geométrica de seu favo, fazendo uma comparação com outros prismas, mostrando quais os únicos prismas que poderiam ser utilizados na construção dos alvéolos e qual possui maior volume. Mostraremos também como elas utilizam os ângulos na dança para a localização de alimentos, falaremos um pouco de sua organização social e dos tipos de alimentos coletados.
Apresentaremos um modelo de crescimento da população das abelhas, a formação da colméia e muitas curiosidades.

http://www.youtube.com/watch?v=DwO6t7ycQQM

Abelhas: uma sociedade muito organizada

As abelhas constroem suas casas no oco das árvores, em buracos no solo e em cupinzeiros abandonados. Os lugares sempre escolhidos são sempre abrigados contra o frio, a chuva e os inimigos naturais. Quando observamos uma colméia, o que mais nos encanta é a sua organização social.
As abelhas sobrevivem somente quando agrupadas. Sozinha uma abelha é incapaz de viver. A sociedade das abelhas é constituída por três tipos de indivíduos: a rainha, os zangões e as operárias. Esses indivíduos formam a população de uma colméia. A rainha é a única fêmea fértil da colméia. É ela a responsável pela produção: põe de 2000 a 3000 ovos por dia; alimenta-se exclusivamente de geléia real e pode viver até 5 anos. Em cada colméia só existe uma rainha.

Os zangões são os machos da colméia e sua função é fecundar a rainha. Isso ocorre apenas uma vez na vida dessa abelha responsável pela produção. Quando a população de uma colméia torna-se muito grande, as operárias criam uma nova rainha. Alguns dias depois de nascer, ela sai com os zangões para o vôo nupcial. Aí, então é fecundada e os espermatozóides. Ficam guardados num receptáculo em seu corpo – a espermateca. De volta a colméia, a nova rainha assume seu papel de reprodutora e a velha rainha sai com uma parte do enxame a procura de um lugar para estabelecer sua nova casa.

Quando a população de zangões torna-se muito grande, as operárias os matam, pois eles não produzem nada só fecundam a rainha.
As operárias executam todas as tarefas dentro da colméia. Guardam a entrada da colméia e protegem a rainha, etc. O tempo de vida de uma operária é em média, de 45 dias. Após esse período, ela abandona a colméia e vai morrer longe das outras, não hes dando nenhum trabalho

Por que as abelhas constroem seus alvéolos?

Com uma única finalidade a abelha constrói os seus curiosos alvéolos: é para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. Levadas (afirmam os sábios pesquisadores) por um instinto admirável, as abelhas procuram obter para seus alvéolos uma forma que seja a mais econômica, isto é, que apresente “maior volume” ou maior capacidade, para a menor porção de material empregado.
Dentro desse plano de trabalho, é preciso que a parede de um alvéolo sirva também ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois, do contrário, não haveria paredes comuns e o desperdício de material seria enorme. Era preciso, pois, para o alvéolo, adotar uma forma prismática.

A forma prismática dos alvéolos

Os prismas (os alvéolos) devem encher totalmente o espaço sem deixar interstícios. As paredes devem ser comuns.
Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstícios são: o prisma triangular, o quadrangular e o hexagonal. Desses três prismas regulares qual será o mais econômico? Em outras palavras: Qual dos três prismas (tendo áreas laterais iguais) apresenta maior volume?

Prisma hexagonal: o mais econômico

Digamos que com certa porção Q, de cartolina, fabricamos o prisma triangular; com a mesma porção Q, um prisma quadrangular e, ainda, com a mesma porção Q, um prisma hexagonal (como indica a figura). Os três prismas são supostos abertos em cima e embaixo. (As bases não são levadas em conta.)

As três únicas maneiras com que podemos fechar o espaço com prismas regulares e iguais sem deixar interstícios:

· com prismas quadrangulares iguais (ângulo de 90º);
· com prismas triangulares regulares iguais (ângulo de 60º);
· com prismas hexagonais regulares iguais (ângulo de 120º).

Observem que 60º, 90º e 120º são os divisores de 360º e ângulos internos de polígonos regulares. As abelhas preferiram o prisma hexagonal por ser o mais econômico.

As áreas laterais dos três prismas são iguais. Podemos, portanto, assegurar que esses prismas apresentam, em suas bases, polígonos isoperímetros (com o mesmo perímetro).

Designemos por a, b, e c, respectivamente, as arestas das bases dos três prismas. Temos, portanto:

· Perímetro do triângulo: 3a;
· Perímetro do quadrado: 4b;
· Perímetro de hexágono: 6c.

Mas como os três polígonos são isoperímetros, temos: 3a = 4b = 6c.

Com o auxílio das relações: 3a = 4b e 3a = 6c

Podemos exprimir as arestas b e c em função de a (aresta do triângulo). Temos: b = 3a / 2 c = a / 2

As três arestas básicas dos prismas são, respectivamente: a, 3a/4 e a/2

Conhecidas as três arestas podemos, com auxílio da Geometria, calcular o volume desses três prismas.

Dos três prismas regulares a abelha escolheu o hexagonal por ser o mais econômico.

A comparação desses volumes torna-se mais simples com a supressão do fator comum a 2 . Escrevemos:

Qual desses três números é o maior? Qual o prisma de maior volume?

Vamos substituir

pelo seu valor aproximado, 1,73 e obteremos os três números (aproximados):

O terceiro (que corresponde ao prisma hexagonal) é o maior.

Conclusão:
O prisma mais econômico é o prisma hexagonal, pois é aquele que apresenta, para o mesmo gasto de material, maior volume, isto é, maior capacidade. Foi por esse motivo que as abelhas, para os seus alvéolos, adotaram a forma hexagonal.

Como são colocados, para maior economia de espaço, os alvéolos das abelhas. A parede de um alvéolo serve para outro alvéolo. Não há entre os alvéolos espaço

perdido e a forma hexagonal é a mais econômica.

Como fechar os alvéolos para conseguir a máxima economia de material?

Já nesse ponto o problema torna-se mais delicado, pois só pode ser resolvido com os recursos da Trigonometria e do Cálculo Infinitesimal (teoria dos máximos e mínimos). A fórmula adotada pela abelha geômetra foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é formado de três losangos iguais. Com essa forma rômbica, em vez de fundo raso (plano) as abelhas, economizam um alvéolo em cada cinqüenta. Em milhões e milhões de alvéolos essa pequena economia de 1 em 50 é incalculável

Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior economia de material, são fechados por três losangos iguais. O valor constante do ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas

Porque as abelhas constroem seus alvéolos?

A forma geométrica do favo

Ao construir os alvéolos das colméias as abelhas procuram obter uma forma que otimize a economia de cera, isto é, que apresente o maior volume para a menor porção de material empregado.
Sendo assim, é preciso que a parede de um alvéolo também sirva ao alvéolo vizinho. Para isso, os alvéolos não poderiam ser cilíndricos, pois a falta de paredes comuns entre eles deixaria uma grande quantidade de espaços inaproveitados. Então, obviamente os alvéolos precisariam ter a forma de um prisma, e os únicos prismas regulares que se justapõe sem deixar buracos são o prismas triangulares, quadrangulares e os hexagonais, sendo esse último o escolhido pelas abelhas, por uma simples razão, dados três prismas, cada um com um dos formatos descritos acima, construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.